定义
向量基础
向量的基础运算加减乘
加法 减法 点乘 叉乘
向量投影
混合积
定义
向量 （英语：euclidean vector，物理、工程等也称作矢量 、欧几里得向量）是数学、物理学和工程科学等多个自然科学中的基本概念。
指一个同时具有大小和方向，且满足平行四边形法则的几何对象。理论数学中向量的定义为任何在向量空间中的元素。一般地，同时满足具有大小和方向两个性质的几何对象即可认为是向量（特别地，电流属既有大小、又有正负方向的量，但由于其运算不满足平行四边形法则，公认为其不属于向量）。向量常常在以符号加箭头标示以区别于其它量。与向量相对的概念称标量或数量，即只有大小、绝大多数情况下没有方向（电流是特例）、不满足平行四边形法则的量。
通用符号定义
标量，用斜体的小写罗马或希腊字母表示，如a,b,x,y,z。
向量，用小写黑粗体字母表示，如a,b,u,v,q,r。
矩阵，用大写黑粗体字母表示，如A，B，M，R。
向量的几何意义
位置与位移
- 向量描述事物间的位移和相对差距
- 向量没有位置，表示方向和长度
- 向量可以表示一个点到另外一个点的位移
将向量表示为位移序列
示例：向量场
向量与点
- 向量可以用来移动一个点
- 对点进行相对位置移动和绝对位置移动
特殊向量
单位向量 Unit vector
零向量 Zero vector
始点与终点重合，即大小为0的向量，被称为零向量（Zero vector）
- 零向量依旧具有方向性，但方向不定。
- 向量不等于数量0，它们是两种性质完全不同的对象
负向量 Opposite vector
一个向量的反向量（Opposite vector）与它大小相等，但方向相反
方向向量
方向向量（Directional vector）的形式化定义如下：
一般地，所有方向相同的向量之间互为方向向量。
向量基础
向量等价
等价条件：具有相同的方向和长度
线性相关和线性无关
对于 \(m\) 个向量 \(\vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}, \ldots, \vec{v}_{m},\) 如果存在一组不全为零的 \(m\) 个数 \(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{m},\) 使得 \(\sum_{i=1}^{m} a_{i} \vec{v}_{i}=\overrightarrow{0},\) 那么, 称 \(m\) 个向量 \(\vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}, \ldots, \vec{v}_{m}\) 线性相关或线性相关(Linearly dependentt)
如果这样不全为零的 \(m\) 个数不存在, 即上述向量等式仅当 \(a_{1}=a_{2}=\ldots=a_{m}=\) 0时才能成立, 就称向量 \(\vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}, \ldots, \vec{v}_{m}\) 线性无关或线性独立 (Linearly independent)
向量的大小(长度或模)
向量的大小（Magnitude）也称模长、长度。
在有限维赋范线性空间中，向量的模长也称为范数（Norm），记作
设向量其范数的计算表达式由弗罗贝尼乌斯范数（一种同时适用于向量和矩阵的范数计算方法）给出:
设向量\(\vec{v}=\left(v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{n}\right)\) ,其大小为： \[ \|\vec{v}\|=\sqrt{v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+\cdots+v_{n}^{2}} \] 对于三维笛卡尔坐标轴系下的向量\(\vec{a}=(x, y, z)\),其大小为： \[ \|\vec{a}\|=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} \]
向量夹角
向量的夹角（Included angle）是对于两个向量而言的概念。
对于任意两个给定的向量 \(a\) 和 \(\vec{b},\) 二者的夹角即将二者图示化后两箭头所夹之角 \(\theta_{0}\) \[ \cos \theta=\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\|\vec{a}\|\|\vec{b}\|} \]
标量与向量的乘法
一个标量k和一个向量之间可以做乘法，得出的结果是另一个与方向相同或相反，大小为的大小的｜｜倍的向量，可以记成.该种运算被称为标量乘法或数乘
-1乘以任意向量会得到它的反向量，0乘以任何向量都会得到零向量.
向量的加法和减法
向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。
向量加法和数乘的性质
交换性
结合性
标准化向量
距离公式
向量点乘/数量积/点积
数量积也叫点积，它是向量与向量的乘积，其结果为一个纯量（非向量）。
\(\vec{a}, \vec{b}\) 为两个任意向量, 它们的夹角为 \(\theta,\) 则他们的数量积为: 设 \[ \vec{a} \cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta \] 即 \(\vec{b}\) 向量在 \(\vec{a}\) 向量方向上的投影长度 \((\) 同方向为正反方向为负号 \(),\) 与 \(\vec{a}\) 向量长度的乘积。
向量积/外积/叉乘
向量积也叫叉积，外积，它也是向量与向量的乘积，不过需要注意的是，它的结果是个向量。
它的几何意义是所得的向量与被乘向量所在平面垂直，方向由右手定则规定，大小是两个被乘向量张成的平行四边形的面积。所以向量积不满足交换律。
设向量 \(\vec{a}=a_{x} \vec{i}+a_{y} \vec{j}+a_{z} \vec{k}, \vec{b}=b_{x} \vec{i}+b_{y} \vec{j}+b_{z} \vec{k}\)
则其向量积的矩阵表达式可用下列符号表示: \[ \vec{a} \times \vec{b}=\left|\begin{array}{ccc} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a_{x} & a_{y} & a_{z} \\ b_{x} & b_{y} & b_{z} \end{array}\right| \]
混合积
三个向量 \(\vec{a}, \vec{b}\) 和 \(\vec{c}\) 的混合积定义为，物理意义为三向量始于同点时所构成的体积 \[ \vec{a} \cdot(\vec{b} \times \vec{c})=\vec{b} \cdot(\vec{c} \times \vec{a})=\vec{c} \cdot(\vec{a} \times \vec{b}) \]
向量投影
进阶运算
向量在面上的投影向量
点在平面上的投影点
点在向量上的投影点
点在直线上的投影点
齐次坐标
正交化处理
利用向量投影进行正交
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